量子力學前傳： 對數是量子世界的「入場券」

 一篇用「白話文」寫的完整論文

作者：一個愛問「為什麼」的科學迷
日期：2025 年 10 月 31 日（萬聖節）
摘要：https://youtu.be/

這篇論文不用公式嚇人，只用生活比喻告訴你：

大自然不是用「加法」數東西，而是用固定比例「乘法」—— 對數，就是它的尺。
我們從耳朵聽音樂開始，聊到酸鹼地震星星，再到普朗克的「整包薯片」，最後愛因斯坦的「光飛鏢」。
全篇重整整合，保證一氣呵成，笑著讀完就懂量子世界！

第一章：你耳朵早就知道答案 —— 對數均勻的原理

想像你在聽音樂：

• 從鋼琴最左邊的「啦」跳到下一個「啦」，頻率從 110 Hz 變成 220 Hz —— 翻倍。
• 再往右跳，440 Hz 變成 880 Hz —— 還是翻倍。
• 你聽起來？每跳一次，音高「升一樣高」！

但如果你用「加法」想：

• 110 變成 220 是 +110 Hz
• 440 變成 880 是 +440 Hz

這差距差了四倍！可你耳朵完全沒感覺「後面跳得更遠」。

為什麼？
人耳的尺是「倍數尺」，不是「公分尺」。
這就是「對數均勻」的開始：自然界或人類感知系統傾向於以「相對變化」（乘除）而非「絕對變化」（加減）來區分差異。

在對數尺度下：

• 「加法」是線性的：1 → 2 → 3 → 4（每步 +1）

• 「乘法」是幾何的（指數的）：1 → 10 → 100 → 1000（每步 ×10）

• 「對數」則將這種幾何增長（乘法）拉回到一個線性、易於理解的刻度上： 它可以將 1 → 10 → 100 → 1000 這些間隔不等的數字，在對數尺上轉換成間隔相等的1 → 2 → 3 → 4。

對數是我們用來理解和量化宇宙中常見的比例關係、倍數增長和感覺感知的關鍵工具，我們的感官是以比例（乘法）的方式來處理信息，所以我們必須使用對數尺來將這些乘法變化轉換成**主觀上感覺均勻（加法）**的刻度。這解釋了為什麼分貝 dB、芮氏規模、pH 值以及音樂中的音程（頻率是乘法關係，但音程是加法感覺）都採用對數刻度。

音樂用對數音階（12平均律）：音分 = 1200 × log₂(頻率比) —— 等比頻率 = 等感知間距。

三大科學經典原理：

1. 韋伯定律：感覺差要跟強度成比例。
2. 費希納定律：感覺強度跟 log(物理刺激) 成正比。
3. 尺度不變性：自然現象在不同大小下行為相似。

所以你不覺得 440Hz 比 220Hz 高「一倍」，但你會覺得「升了一級」。

這就是「對數均勻」的世界觀。

第二章：酸鹼、地震、星星亮度 都在用同一把尺

科學界愛用對數定義的例子，到處都是：

東西	真實變化	對數後怎麼變？	為什麼對數均勻？
pH值	酸度從 0.0000001 → 0.000001（差100倍）	pH 從 7 → 5（差2格）	壓縮極端範圍，符合化學感知
地震	能量差1000倍	芮氏規模差3級	每級 ×10 振幅，等比能量
星星亮度	亮100倍	星等暗5等	-2.5 × log(亮度比)，古希臘遺產
聲音	強度差100萬倍	分貝差60 dB	20 × log(壓力比)，耳朵的「倍數耳」
本福德定律	首位數字機率	log(1 + 1/d)	自然數據的「倍數分佈」

你發現了嗎？

為什麼這麼多科學都愛對數？

科學與工程：用於處理指數成長、放射性衰變、聲音強度、地震震級（如芮氏規模）。 
金融：計算複利、投資報酬率、風險模型。
電腦科學：分析演算法時間複雜度（如 O(log n)）、資料壓縮與加密。
自然現象建模：如人口成長、生物繁殖、病毒擴散等。

• 因為它壓縮極端（小數與大數放一起不會爆表）。

• 因為它符合感覺（我們天生是比例感）。
• 因為它讓乘法變加法 log(ab) = log a + log b 除法變減法log(a/b) = log a - log b（計算更省力）。
• 統計便利：對數正態分佈、最大似然估計。
• 因為自然現象如衰變、成長、波傳播常是 eˣ 或 10ˣ 型態。
• 細菌的繁殖、複利增長、星系的膨脹、甚至人類聽覺和視覺的感知模式是乘法（指數級別的），那麼要測量或理解這種增長，最合適的工具就是對數。

第三章：普朗克常數

—— 能量也「打包賣」

來看看量子世界。

普朗克發現，能量不是連續的，而是一「包」一「包」出現。

這包的大小叫 普朗克常數 (h)：

E = h × ν（能量 = 常數 × 頻率）

這就像：

• 紅光：小包薯片（低頻，能量少）
• 藍光：大包薯片（高頻，能量多）

光震得越快，一包能量就越大。

這就是量子的開始：能量不是加法連續，而是乘法倍增。

第四章：愛因斯坦的飛鏢實驗

19世紀物理學家們在哭：光電效應不符波理論。

現象	波理論預測	實際結果
紅光再強也打不出電子	能量應該會慢慢累積	完全沒反應
藍光只閃一下就出現電子	應該要照超久	瞬間蹦出！
電子速度跟光的亮度無關	應該亮一點就快一點	其實只跟顏色（頻率）有關！

後來愛因斯坦說：「光根本不是波，而是一堆飛鏢！」

這就是光電效應的故事。

愛因斯坦說：

光是一顆顆「光子」，能量 = h × ν。

每顆光子像一支飛鏢，專打電子。

電子要逃出去得先付「門票」——功函數 φ。

剩下的能量變成它的「跑速」。

這就是光電效應公式：

光能量 = 門票 + 電子動能

太陽能板、相機、雷射，全靠這原理。

所以說：

遠看光像波，近看像飛鏢。

遠看一包薯片，近看是一片一片。

第五章：結論 —— 大自然是個「倍數控」

世界類型：線性世界

• 尺度： 加法

• 用法： 適合數尺、公分

世界類型：對數世界

• 尺度： 倍數

• 用法： 適合耳朵、眼睛、宇宙

1. 省空間：壓縮大範圍。
2. 公平：小聲跟大聲差「一倍」才算「一樣大」。
3. 簡單：乘法變加法。
4. 普朗克先生蓋章：量子世界按「倍數」發貨，愛因斯坦用飛鏢證明。

普朗克負責「打包」，

愛因斯坦負責「證明」，

對數負責「翻譯給人聽懂」。

參考文獻

1. 「我耳朵」—— 每天聽音樂的你。
2. 「化學課本」—— pH試紙那頁。
3. 「地震新聞」—— 芮氏規模差1級有多可怕。
4. 「普朗克」—— 那個說「能量要整包賣」的老頭。
5. 「愛因斯坦」—— 把光變飛鏢的相對論大師。
6. 「黑體鍋」—— 你家炒菜鍋發紅光的時候。

後記

下次你再聽到「對數」或「量子」，別怕！
它不是數學怪獸，量子不是玄學。

它們只是自然界在說：

「一切的變化，其實都在倍數中。」

完。