連續變量系統在一般噪聲下的容錯量子計算 (翻譯)

 連續變量（CV）系統中量子糾錯碼因其靈活性及對特定噪聲的高度抵抗力而備受關注。然而，CV系統中的容錯理論仍處於起步階段，缺乏將CV系統噪聲轉化為邏輯量子位噪聲的一般策略，這嚴重限制了可糾正的噪聲模型。本文中，我們證明通過Gottesman-Kitaev-Preskill（GKP）碼，CV系統中的馬可夫型噪聲可轉化為邏輯量子位的馬可夫型噪聲。我們以新引入的噪聲參數化方式分析了所得噪聲強度的上界。結合已建立的串聯碼對馬可夫型噪聲的閾值定理，我們證明CV量子計算對一般馬可夫型噪聲存在容錯閾值，從而填補了CV量子計算中的關鍵空白。我們還對CV系統中實現容錯需謹慎管理態能量這一事實提供了新洞見。

引言

連續變量（CV）量子光學系統透過將量子信息編碼到電磁場正交分量中，具有實現量子計算的獨特優勢，因其與量子通訊的親和性及由此帶來的可擴展性。在光通訊領域，已有成熟技術可測量光學模式的正交分量。此外，CV方法中的糾纏操作是確定性的，即使在當前實驗技術下也能產生大規模糾纏態¹,²。

容錯性對可靠計算不可或缺，而量子糾錯（QEC）³是實現容錯的必要手段。針對CV量子計算，已提出多種量子糾錯碼⁴⁻¹⁴（另見參考文獻15的綜述與比較）。其中，Gottesman–Kitaev–Preskill（GKP）碼⁹具有通用門集與計算基測量更容易實現⁹，以及較強的糾錯能力¹⁵等優勢。事實上，只有在製備GKP態時才需要非高斯光學操作，這在實驗中較難實現¹⁶,¹⁷。已有多篇理論論文提出在量子光學系統中可行地生成（近似）GKP態¹⁸⁻²¹，且最近已實驗演示了原始GKP態²²。

儘管有這些實驗進展，CV系統中的容錯理論尚未完全成熟。在多量子位系統中，如何實現容錯已得到充分認知與建立²³⁻³³。相反，CV量子計算的容錯性僅針對特定噪聲模型（如高斯隨機位移噪聲³⁴）得到證明。許多研究³⁵⁻⁴⁰聲稱使用GKP碼的CV量子計算存在容錯閾值，但所有這些分析均針對極為受限的噪聲模型，例如高斯隨機位移⁴¹或GKP碼的高斯近似⁴²。參考文獻37提出了一種類似twirling的方法，可將高斯近似GKP態簡化為受高斯隨機位移噪聲作用的理想GKP態，這可能適用於其他噪聲類型。然而，此twirling-like操作在物理上無法實現。此外，在計算過程中虛擬插入通道會改變噪聲模型，因此這種簡化無法用於容錯分析。

但在實驗中，確實存在非高斯型錯誤，例如隨機相位旋轉，以及參考文獻18-21提出並在22中演示的GKP碼字實驗近似。這些非高斯錯誤可能無法被EC完全糾正，並可能在現有容錯分析中累積，導致容錯性失效。因此，針對一般噪聲的GKP碼完整容錯理論，對於構建容錯光學CV量子計算機並引導實驗努力至關重要。

本文透過證明光量子計算的閾值定理，填補了這一關鍵空白——無論噪聲模型細節如何。乍看之下，多量子位量子計算容錯理論中發展成熟的技術²³⁻³³大多無法直接應用於GKP碼，因為理想GKP碼字不可正規化，因此不屬於CV希爾伯特空間。近似碼字是有效的量子態，但它們之間的非正交性使問題更加複雜。我們證明，透過使用串聯碼證明容錯的靈活框架³⁰⁻³³,⁴³，我們可以在不依賴非物理理想GKP碼字的情況下，為GKP碼定義容錯條件。剩下的問題是：物理CV系統上的（非高斯）噪聲模型是否能透過串聯碼轉化為可糾正的量子位級噪聲模型？我們證明，在對物理CV系統噪聲模型的溫和假設下，轉化後的量子位級噪聲模型實際上是可糾正的。我們假設的噪聲模型涵蓋了實驗相關情況，例如非高斯近似GKP態、光損耗以及零差探測器的有限解析度。透過這種方式，我們證明了CV量子計算的閾值定理。

因此，本文為量子連續變量提供了完整的容錯數字化程序，呈現了彌合現有容錯理論與當前及未來CV量子計算實驗之間差距的途徑。所得到的閾值定理將指導實驗如何改進系統以滿足容錯標準。這開啟了在嘈雜真實世界環境中實現CV容錯量子信息處理的可能性，也加深了我們對CV量子系統的理解。

結果

設定

量子計算的容錯協議旨在用現實世界中由噪聲器件組成的量子計算機，近似理想量子計算機的輸出概率分佈，總變分距離誤差小於任意參數ϵ。在多量子位系統中，使用串聯碼³⁰⁻³³,⁴³可獲得這樣的容錯協議，但在CV系統中，除非常受限的情況³⁴外，尚未實現。

本文透過將CV系統視為串聯碼的物理（第0層），並將透過GKP碼定義的量子位視為第1層，證明了CV量子計算的閾值定理。我們使用串聯碼容錯協議的框架³⁰⁻³³,⁴³，其中第k層的每個態製備、門操作和測量都被替換為由第(k−1)層碼操作組成的容錯小工具，並夾在第(k−1)層EC小工具之間。同樣地，我們將量子位串聯碼第1層的每個態製備、門操作和測量替換為GKP態製備小工具、GKP門小工具和GKP測量小工具，並夾在GKP EC小工具之間（見圖1）。透過這種方式，CV系統中的錯誤被GKP碼轉化為量子位級錯誤。現在的問題是，在對CV系統噪聲的自然假設下，確定第1層量子位所經歷的噪聲模型，並判斷其是否可糾正。

（圖1描述：量子位電路被替換為（容錯）GKP小工具，並在中間插入GKP糾錯（EC）小工具。）

參考文獻34透過假設噪聲為高斯隨機位移來處理此問題，這相對容易處理。該工作證明，在這種特定情況下，量子位級噪聲將成為隨機Pauli噪聲。值得注意的是，即使是高斯近似GKP碼字，也不等同於受高斯隨機位移噪聲作用的理想GKP碼字。直接推廣此結果會遇到障礙，我們將在下文描述。

第一個障礙來自GKP碼本身。本文處理的GKP碼是一種穩定子碼，其穩定子生成元為位置和動量正交分量中的√π位移⁹。對於GKP碼字（對這些位移不變），位置和動量正交分量中的√π位移分別充當邏輯Pauli-X和Z算符。儘管概念清晰，GKP碼存在內在問題：理想GKP碼字不可正規化，因此不是物理上有效的態。若將理想GKP態定義為其近似序列的極限⁹,⁴²，則能量（即平均光子數）在極限中發散。事實上，沒有希爾伯特子空間對位置和動量中的√π位移不變。這似乎是重大障礙，因為我們不再擁有分析糾錯碼和容錯理論時始終使用的碼空間。物理上可實現的態僅為近似√π-位移不變。這也是GKP碼被視為近似糾錯碼的原因。

另一個障礙是缺乏能夠處理物理相關情況同時維持容錯證明所需性質的噪聲量子通道距離測度。在有限維量子系統中，通常使用鑽石範數作為距離測度，因為它與量子力學相關並滿足容錯證明所需性質²⁹,⁴⁴。但在無限維量子系統中，此測度過於嚴格：許多物理相關的噪聲模型族在此距離測度下表現出奇異行為⁴⁵,⁴⁶。例如，無窮小相位旋轉不僅遠離恆等映射，而且與之距離最大。這種反直覺行為的原因在於，具有任意高相位旋轉敏感度的量子態具有任意高能量（此處為光子數）。由於實驗室中無法生成無界能量，因此此類態在實際中無法產生（即使設備完美），我們需要使用替代測度來反映這一實驗限制。下文我們將說明如何克服這些障礙並建立CV量子計算的容錯證明。

基於穩定子子系統分解的CV容錯條件

我們面臨的第一個障礙是理想GKP碼字的非物理性以及由此帶來的定義容錯條件的困難。為繞過此問題，我們利用GKP碼的子系統分解，首先由參考文獻47提出，並在48-51中得到細化。我們將使用穩定子子系統分解⁵¹，它修正了初始提案⁴⁷中兩個正交分量之間不希望的不對稱性。它將量子諧振子的希爾伯特空間ℋ分解為邏輯量子位希爾伯特空間ℋ_L與代表GKP碼穩定子生成元症候的無限維希爾伯特空間ℋ_S的張量積，即ℋ=ℋ_L⊗ℋ_S（見圖2）。在此分解中，ℋ_S被定義為大小為√π區間笛卡爾平方的平方可積函數空間⁵¹。概念上，此分解推廣了n物理量子位穩定子碼（單邏輯量子位）可分解為邏輯量子位希爾伯特空間與(n−1)症候量子位希爾伯特空間的這一事實。

（圖2：參考文獻47-51中研究的子系統分解的圖示表示。）

有了此分解，我們引入一個錯誤的等價類，依此定義容錯條件，如量子位情況下的參考文獻30,33。為此，我們定義穩定子子系統（SSS）r-濾波器和理想GKP解碼器，類似於參考文獻30中為串聯碼定義的r-濾波器和理想解碼器。對於分解ℋ=ℋ_L⊗ℋ_S，SSS r-濾波器提供了一種工具來討論物理GKP態波函數相對於ℋ_S定義中笛卡爾平方原點（代表無錯誤，見圖2）的偏差程度，而理想GKP解碼器則告訴我們電路中給定位置的邏輯量子位ℋ_L的態。SSS r-濾波器（圖3）被定義為投影算符，對邏輯量子位作用為恆等，而對ℋ_S定義中笛卡爾平方[-r,r)×[-r,r)子區域進行投影。

（圖3：ℋ_S在3D圖（上）和等高線圖（下）的圖示，以及穩定子子系統（SSS）r-濾波器的作用。）

透過SSS r-濾波器的作用，右側紅色陰影區域被置零。

現在，我們可以定義噪聲或近似GKP態的等價類，稱為r-參數化GKP態類。對於量子位態|ψ⟩_L的r-參數化GKP態，是ℋ_L中的|ψ⟩_L與僅在ℋ_S定義中笛卡爾平方[-r,r)×[-r,r)子區域上有支撐的態的乘積態。因此，SSS r-濾波器對其平凡作用，理想GKP解碼器將其解碼為|ψ⟩_L。與非物理理想GKP碼字不同，r-參數化GKP態對任意r>0均有良好定義。然後，CV量子計算的容錯條件定義為：態製備小工具製備具有足夠小r的r-參數化GKP態，門和測量小工具不會將r放大至小常數，而EC小工具將態刷新為r-參數化GKP態同時保持邏輯信息。

注意到r-參數化GKP態可寫為至多r位移理想GKP態的疊加⁴⁷,⁵¹，因此門和測量操作不得將位移錯誤放大到不可糾正的程度。這類似於量子位容錯條件，其中要求門或測量操作不得擴散局部錯誤。我們證明GKP碼慣常使用的門和測量操作滿足上述定義的容錯條件（見「方法」與補充資料2B）。還可證明，後接小位移錯誤的門或小位移錯誤後的測量也滿足容錯條件。因此，我們獲得了一種描述CV態製備、門和測量的容錯條件的方式，而無需參考噪聲細節和近似GKP碼字波函數的形狀。這與先前工作³⁴形成鮮明對比，後者明確假設了噪聲模型和波函數形狀。

現在我們觀察到，計算過程中的EC操作必須將態恢復到r遠小於√π（GKP碼可糾正位移參數的閾值）的r-參數化GKP態。否則，計算過程中的噪聲會累積，使ℋ_S笛卡爾平方中波函數的支撐超出√π，從而導致邏輯錯誤。為將態恢復到r-參數化GKP態，我們需要GKP EC。但由於第二個障礙——為獲得合適距離測度需考慮能量約束——也影響GKP EC的要求，我們將其討論推後。

能量約束條件

如前所述，我們已成功以滿足容錯要求的方式抽象化GKP碼。因此，我們可以證明如圖1所示的CV容錯電路，只要所有CV電路組件完美滿足容錯條件，就能完美再現目標量子位電路的結果。然而，這種理想情況在實驗中永遠無法實現。我們需要工具來處理更廣泛的情況：電路組件幾乎完美，但可能具有一般類別的物理錯誤。這正是CV系統中通道距離測度必要的時候。

如前所述，傳統用於量子位量子計算容錯證明的鑽石範數²⁹,⁴⁴對CV系統過於嚴格。文獻⁴⁵,⁴⁶,⁵²⁻⁵⁷中已考慮能量的約束版本鑽石範數，它在量子通道集合上誘導更弱且物理上相關的拓撲。在鑽石範數定義中引入能量約束的概念首先見於參考文獻55，但該定義與⁴⁵,⁴⁶中的不同，因為前者同時約束輸入和參考系統的能量。為便於分析，我們使用⁴⁵,⁴⁶中僅對輸入系統施加能量約束的版本。為此，計算過程中每個時間步的模態能量（即平均光子數）在對測量結果求平均後需有界。注意，這也是我們需避免在分析中參考理想GKP碼字的另一原因，後者具有無界能量且可能對相位旋轉噪聲具有任意高敏感度，這在參考文獻51中已有數值觀察。由於CV門操作通常會增加能量，計算過程中的態應持續被刷新到具有常數能量上界的態。

為實現這一點，我們利用同時滿足執行GKP EC和重置能量要求的GKP EC小工具。這透過基於隱形傳態（即Knill型）的EC⁵⁸實現，如圖4所示，其中計算過程中的邏輯信息被隱形傳態到新製備的具有常數能量的輔助GKP碼字。若圖4中所有電路元件均滿足以SSS r-濾波器和理想GKP解碼器表示的容錯條件，則整個EC小工具也滿足容錯條件（見「方法」與補充資料2B）。此外，如圖1所示，計算過程中的態持續被重置為新製備的GKP態，同時其邏輯信息被保留；這確保計算過程中每個製備的態在被GKP EC小工具測量前僅經歷常數數量的門操作。然後，我們可以證明計算過程中態的能量具有上界（見補充資料2C）。

（圖4：基於隱形傳態（Knill型）的GKP糾錯⁵⁸，附輸入與輸出位置波函數平方。）

圖中省略了前饋（GKP）Pauli修正操作；它們可透過Pauli框架更新或修改後續門和測量來修正。由於輸入量子態被隱形傳態到輔助製備模式，態的能量被重置，這由波函數平方方差的變化來體現。注意，態的能量也取決於動量波函數平方的方差。

這使我們能夠使用能量約束鑽石範數來評估噪聲影響。與Knill型EC不同，常規Steane型GKP EC⁹可能無法重置糾錯後態的能量。如此一來，計算過程中態的能量可能持續增加，從而對噪聲更脆弱，破壞容錯性。注意，對於Steane型EC，可能透過更複雜的後處理策略克服此問題，如參考文獻19,59,60所暗示，但很難評估計算過程中態能量的上界。

一般噪聲下的CV FTQC

有了能量約束鑽石範數，我們引入了涵蓋實驗相關噪聲的CV系統噪聲模型。我們的噪聲模型是獨立的（每個模式經歷的噪聲與CV量子計算機中任何其他模式無關），且是馬可夫的（時間上無相關性）。因此，我們將此噪聲模型命名為(E, r, ϵ)-獨立馬可夫噪聲模型，其中E是能量約束鑽石範數的能量約束，r是對理想量子操作的額外位移最大量，噪聲強度ϵ是與此至多r-位移理想量子操作在E-約束鑽石範數下的距離。例如，對於態製備，ϵ等於與r-參數化GKP態的跡距離。此噪聲模型不僅涵蓋非高斯近似GKP態製備，還涵蓋模式 wise 光損耗、隨機相位旋轉和零差探測器的有限解析度。（形式定義見「方法」）。這與先前工作³⁴形成鮮明對比，後者噪聲模型限於高斯隨機位移。

在此噪聲模型下，我們旨在證明CV容錯量子電路的閾值定理。我們的容錯證明策略基於層級歸約³⁰⁻³³。為此，我們將電路分割為擴展矩形（ExRec），其中每個要實現的操作被替換為容錯小工具，並在這些容錯小工具之間插入EC。ExRec由圖1中的虛線包圍。每個ExRec決定邏輯量子位級電路的行為；即，若ExRec為壞的，則對應邏輯操作被視為錯誤的。層級歸約的細節在「方法」與補充資料2D中分析。結合參考文獻31,32中量子位量子計算的閾值定理，我們得到以下定理。（證明概要見「方法」）。

定理1（補充定理36與補充推論37的非正式陳述 | CV量子計算閾值定理）：我們可以使用GKP碼構造CV協議，使得對於任意目標p>0，存在非零閾值ϵ_th、r_th和有限能量界E_th，滿足以下條件：即使物理CV電路的每個位置都遭受一般類別的（不一定是高斯的）獨立馬可夫噪聲，該噪聲與其理想作用的偏差為（1）在能量E_th的能量約束鑽石範數下距離參數ϵ<ϵ_th，以及（2）位移參數r<r_th（如同上述噪聲模型），也能保證GKP量子位的邏輯電路經歷噪聲強度低於p的局部馬可夫噪聲。也就是說，透過將此CV協議與針對局部馬可夫噪聲具有閾值p_th>p的量子位串聯碼容錯協議進行串聯，我們可以實現以CV系統為物理層的容錯量子計算，空間-時間開銷為原電路大小的多項式對數。

我們註明，在上述定理中，GKP量子位邏輯電路所經歷的噪聲模型不再是獨立的（因EC過程產生相關性），但相關噪聲的發生頻率與獨立噪聲模型相當。此噪聲模型稱為局部馬可夫噪聲模型，在量子位系統中於參考文獻31,32中有詳細研究，其中建立了閾值定理。因此，我們可以使用該結果得到定理1的最終陳述。

討論

在本工作中，我們嚴格證明了使用GKP量子糾錯碼的量子計算在一般類別獨立馬可夫噪聲模型下的容錯閾值存在，推廣了參考文獻34僅考慮高斯隨機位移噪聲的結果。我們的噪聲模型涵蓋了實驗相關噪聲，例如非高斯GKP態近似、光損耗以及零差檢測的有限解析度。這可使用參考文獻51發展的GKP碼穩定子子系統分解來證明。與量子位量子計算容錯的主要區別在於，CV情況下的容錯條件要求（1）門操作不放大位移，以及（2）計算過程中態的能量保持有界。與量子位情況不同，若無能量條件（2），CV態可能對小噪聲越來越脆弱，最終變得不可糾正。為避免能量累積以及糾正CV級錯誤，我們使用Knill型EC⁵⁸確保這些條件得到滿足。在實踐中，只要做出一些努力確保態的能量界限¹⁹，Steane型GKP EC⁹很可能也能工作。執行此分析留待未來工作。

我們評論使用解碼中的模擬信息對我們分析的影響，因為CV測量結果的使用通常能大幅改善閾值³⁵⁻³⁷,³⁹,⁴⁰,⁶¹,⁶²。只有在對ℋ_S上波函數形狀施加某些假設時，才能從CV測量結果獲得非平凡信息。現有分析假設ℋ_S上的波函數為高斯型，這在我們分析的一般噪聲類型下可能不再成立。因此，使用模擬信息應被視為噪聲依賴的啟發式方法，而非我們本文旨在實現的獲得嚴格閾值的一般策略。

本文開發的容錯框架和CV量子計算閾值定理帶來許多啟示。首先，此處給出的閾值定理清楚說明了為構建CV量子計算機，實驗上需要實現什麼。如上所述，我們處理的噪聲模型範圍廣泛，包含廣泛的實驗相關噪聲。透過估計實際實驗噪聲的噪聲強度ϵ，可以判斷噪聲水平是否足夠低以實現CV容錯量子計算機。其次，DV與CV系統的容錯量子信息處理可能存在關鍵差異。在CV情況下，信息處理過程中態的能量必須小心管理；否則，態可能對噪聲越來越脆弱。出於同樣原因，在CV系統中，Knill型EC與Steane型EC在無小心調整的情況下可能不再等價。前者確保重置數據模式的能量，而後者不能。這些觀察為未來研究CV量子計算與信息處理的可能性與限制開闢了道路。

方法

GKP碼與穩定子子系統分解

量子諧振子是連續變量（CV）系統的典型例子。單模量子諧振子可由一對非對易的正交算符 $\hat{x}$ 和 $\hat{p}$ 來刻畫，它們滿足 $[\hat{x}, \hat{p}] = i$，作用於可分希爾伯特空間 $\mathcal{H}$ 的（稠密線性子空間）上。量子諧振子的能量能級被量子化，以非負數「光子數」標記。光子數算符定義為 $\hat{n} = (\hat{x}^2 + \hat{p}^2 - 1)/2$。

我們考慮將量子位編碼到量子諧振子中的GKP碼。理想GKP編碼態（GKP碼字） $|\overline{\psi}\rangle$ 形式上定義為位置本徵態的無窮疊加：

$$|\overline{0}\rangle = \sum_{j=-\infty}^{\infty} |x = 2j\sqrt{\pi}\rangle, \quad |\overline{1}\rangle = \sum_{j=-\infty}^{\infty} |x = (2j+1)\sqrt{\pi}\rangle$$

GKP碼可視為穩定子碼，其穩定子由 $\hat{S}_x = e^{i2\sqrt{\pi}\hat{x}}$和 $\hat{S}_p = e^{i2\sqrt{\pi}\hat{p}}$ 生成。。該碼上的邏輯Clifford酉門可由高斯酉算符實現，這些算符由 $\hat{x}$和 $\hat{p}$的二次多項式生成。GKP邏輯操作與CV物理操作的對應關係如下⁹：

(1) $\overline{X} = e^{i\sqrt{\pi}\hat{x}}$ (2) $\overline{Z} = e^{i\sqrt{\pi}\hat{p}}$ (3) $\overline{H} = e^{i(\hat{x}^2 + \hat{p}^2)/2}$（Hadamard門） (4) $\overline{\text{CNOT}} = e^{i\hat{x}_1\hat{p}_2}$（控制NOT） (5) $\overline{P} = e^{i\pi/4 \hat{n}}$（相位門，部分文獻使用剪切操作）

其他邏輯門可透過門隱形傳態實現，只要能製備GKP魔術態¹⁶,¹⁷,⁶⁴。邏輯Pauli-X或Z測量可透過對 $\hat{x}$或 $\hat{p}$正交分量進行零差檢測，再將測量結果對 $\sqrt{\pi}$ 取模並分箱實現。若結果被分到 $\sqrt{\pi}$的偶（奇）數倍，則視為邏輯0（1）。這完成了使用GKP碼實現通用量子計算的描述。

上述 $|\overline{\psi}\rangle$ 的表達式僅為形式上的，並不代表物理上可實現的態。為使碼物理可實現，需以某種方式近似該態⁹，這使得GKP碼的理論處理變得複雜⁴²，也增加了容錯分析的難度。如何或在何種意義下近似GKP碼字是我們本文要解決的問題。GKP碼字的近似方式已在文獻中討論⁹,³⁴,⁴²。最近的進展是子系統分解技術⁴⁷⁻⁵¹，它將CV系統的希爾伯特空間分解為邏輯量子位與症候子系統的張量積。

子系統分解類似於將穩定子碼的物理希爾伯特空間分解為代表邏輯量子位與症候量子位的子空間。在Steane 7量子位碼⁶⁵中，七量子位的希爾伯特空間可表示為一個邏輯量子位與六個症候量子位的張量積³⁰。碼字可（在該同構下）表示為邏輯量子位任意態與症候量子位特定基態（例如 $|0\rangle^{\otimes 6}$的張量積。物理量子位上的Pauli錯誤會翻轉某些症候量子位。7量子位碼的EC程序對應於檢測症候並將整體態修正回 $|0\rangle^{\otimes 6}$，同時對邏輯量子位作用恆等。我們也可將邏輯量子位與症候量子位視為子系統⁶⁶,⁶⁷。對於GKP碼，症候量子位的希爾伯特空間被替換為無限維症候子系統。

在GKP碼已提出的多種子系統分解中，我們採用參考文獻51發展的穩定子子系統分解，因為它對應於典型的GKP EC分箱解碼器。在此分解中，量子諧振子的希爾伯特空間 $\mathcal{H}$ 被分解為：

$$\mathcal{H} = \mathcal{H}_L \otimes \mathcal{H}_S$$

其中 $\mathcal{H}_L$ 是邏輯量子位，$\mathcal{H}_S$ 是平方可積函數空間，其定義域為笛卡爾平方：

$$\text{Sq} = [-\sqrt{\pi}/2, \sqrt{\pi}/2) \times [-\sqrt{\pi}/2, \sqrt{\pi}/2$$

$$$$

（見圖2）。因此，任何態 $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ 可表示為形式 $|\phi\rangle_L \otimes |f\rangle_S$的線性組合，其中 $|f\rangle_S \in \mathcal{H}_S$。我們稱 $\mathcal{H}_S$為SS希爾伯特空間，$\mathcal{H}_L$ 為邏輯量子位子系統，$\mathcal{H}_S$ 為症候（穩定子）子系統。

GKP穩定子算符 $\hat{S}_x$ 和 $\hat{S}_p$ 在SSS希爾伯特空間上可表示為平移算符。理想GKP態是 $z_1,z_2$ 上狄拉克δ分佈的乘積，因此是未良好定義的態。但從上述分解可清楚看出，形式 $|\psi\rangle_L \otimes |f\rangle_S$ 的向量與理想GKP態具有相同的邏輯量子位態，與 $f$ 的形式無關。

（圖2、圖3描述已在前文翻譯，此處略）

容錯量子計算及其實現方式

容錯量子計算（FTQC）的目標是構造電路 $\tilde{C}$，在任意給定目標誤差 $\varepsilon > 0$ 內模擬 $W$量子位、深度 $D$ 的原始量子電路 $C$，即在忽略EC步驟中不相關測量結果後，輸出的概率分佈與 $C$ 的輸出在總變分距離上誤差至多 $\varepsilon$。

在量子位量子計算中，已證明容錯可實現²³⁻³³。其關鍵在於每個電路組件的錯誤足夠小，且物理電路遵循合理的噪聲模型。當噪聲為獨立且馬可夫時，可透過層級歸約與串聯碼達成任意小錯誤。

我們將此框架推廣至CV情形，使用SSS r-濾波器與理想GKP解碼器代替量子位情形的r-濾波器與理想解碼器。

• SS r-濾波器：對邏輯量子位作用恆等，對 $\mathcal{H}_S$ 中的笛卡爾平方 $[-r,r) \times [-r,r)$ 子區域進行投影。
• 理想GKP解碼器：跡除 $\mathcal{H}_S$，將物理CV態映射到邏輯量子位態。

我們定義 r-參數化GKP態：對邏輯態 $|\psi\rangle_L$，其為 $|\psi\rangle_L$ 與僅在 $[-r,r) \times [-r,r)$ 上有支撐的 $\mathcal{H}_S$ 態的乘積態。

我們進一步定義各類 s-參數化GKP小工具（s-preparation, s-gate, s-measurement, s-EC），並給出它們的容錯條件（詳見補充資料2B）。

這些條件確保：只要位移錯誤參數足夠小，小工具不會放大錯誤，且能正確實現邏輯操作。特別是GKP碼常用的高斯門（1）–（4）滿足這些條件，因為它們不會將輸入的位移錯誤（參數r）放大超過小常數s。

能量約束條件

傳統鑽石範數在CV系統中過於嚴格（例如無窮小相位旋轉會有最大距離）。因此我們使用能量約束鑽石範數⁴⁵,⁴⁶。

我們證明在適當能量上界下，計算過程中每個模式的局部能量可保持常數上界 $E_{\text{th}}$（主要透過Knill型EC⁵⁸持續重置能量實現）。這使得我們能定義 (E, r, ϵ)-獨立馬可夫噪聲模型，涵蓋實驗上重要的噪聲（非高斯GKP近似、光損耗、隨機相位旋轉、有限解析度零差測量等）。

層級歸約與閾值定理

透過ExRec（擴展矩形）概念，我們證明了從物理CV噪聲到邏輯量子位噪聲的層級歸約：若物理噪聲參數 $(r, \epsilon)$ 足夠小，則邏輯量子位層經歷的噪聲強度 $\epsilon_{\text{qubit}}$ 會低於量子位串聯碼的閾值。

定理1（正式版本概要）：存在非零閾值 $\epsilon_{\text{th}}$、$r_{\text{th}}$和有限能量界 $E_{\text{th}}$，使得在 $(E_{\text{th}}, r < r_{\text{th}}, \epsilon < \epsilon_{\text{th}})$的獨立馬可夫噪聲下，GKP編碼的CV電路經串聯量子位容錯碼後，可實現任意精度的容錯量子計算，開銷為原電路規模的多項式對數。

常見CV噪聲模型如何對應我們的參數化

本文詳細分析了：

• 高斯近似GKP態（圖5a）
• 高斯隨機位移通道（圖5b）
• 隨機相位旋轉通道（圖5c,d）
• 有限解析度零差測量

並給出它們對應的 $(s, \epsilon)$或 $(E, s, \epsilon)$ 噪聲參數數值估計。這些結果表明，當擠壓水平達到約30 dB 左右時，噪聲強度已可低於量子位串聯碼的容錯閾值。

原文

Continuous-Variable Fault-Tolerant Quantum Computation under General Noise

以下是論文中各圖片的更詳細中文說明（基於論文內容、上下文與典型GKP相關圖示的特徵，力求清晰、科學且易於理解）：

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圖1：量子位電路被替換為容錯GKP小工具，並在中間插入GKP糾錯（EC）小工具

詳細描述： 這是一張示意圖，展示如何將傳統的量子位量子電路轉換成使用GKP碼的連續變量（CV）容錯電路。

• 上方顯示一個標準的量子位電路：包含多個量子位（水平線），上面有態製備（Preparation）、邏輯門（Gate，如Hadamard、CNOT等）、測量（Measurement）等操作。
• 下方顯示對應的GKP容錯版本：每一個量子位操作都被替換成「GKP小工具」（GKP gadgets），包括：
  • GKP態製備小工具（Preparation Gadget）
  • GKP門小工具（Gate Gadget）
  • GKP測量小工具（Measurement Gadget）
• 在每個小工具之間（或前後）插入GKP錯誤修正（EC）小工具，用虛線框標示出「擴展矩形（ExRec）」——這是容錯分析中用來評估邏輯錯誤的關鍵單元。
• 箭頭或標註顯示「物理CV模式 → 邏輯量子位」的轉換關係。
• 整體結構強調層級結構：CV物理層（第0層）透過GKP碼變成量子位邏輯層（第1層）。

意義：此圖直觀說明了如何把CV系統「數字化」成量子位容錯框架。

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圖2：穩定子子系統分解（Subsystem Decomposition）的圖示表示

詳細描述： 這是一張概念分解示意圖，將單模量子諧振子的希爾伯特空間進行分解。

• 左側：一個完整的CV量子態（以波函數或相空間分布表示）。
• 右側：分解成兩個子系統的張量積：
  • 上方：邏輯量子位 $\mathcal{H}_L$（以|0⟩_L 和 |1⟩_L 表示，或Bloch球簡化表示）。
  • 下方：穩定子子系統（Syndrome Subsystem） $\mathcal{H}_S$，顯示為一個二維笛卡爾平方（Cartesian square），邊長為 $\sqrt{\pi}$，坐標軸分別對應兩個正交分量的「症候變數」（z₁, z₂）。
• 用箭頭或顏色區分「理想GKP碼字」對應於該平方區域的原點（無錯誤）。
• 可能有小圖示顯示任意CV態可寫成邏輯量子位態與 $\mathcal{H}_S$ 中某函數 $f(z_1, z_2)$ 的疊加。

意義：此圖是論文的核心創新之一，解決了理想GKP態不可正規化的問題，讓容錯分析得以在物理態上進行。

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圖3：$\mathcal{H}_S$ 的3D圖與等高線圖，以及穩定子子系統（SSS）r-濾波器的作用

詳細描述： 這是一張組合圖，分為上下兩部分：

• 上方（3D圖）：顯示 $\mathcal{H}_S$ 中的波函數或概率密度，以三維曲面表示。橫軸為 z₁ 和 z₂（兩個症候坐標），縱軸為波函數幅度或概率密度。
• 下方（等高線圖 / Contour Plot）：同一分布的二維等高線版本，更清楚顯示峰值位置。
• 紅色陰影區域：標示 $[-r, r) \times [-r, r)$ 的中心正方形區域（r-濾波器通過的區域）。
• 濾波器作用示意：用箭頭或前後對比顯示，濾波器將紅色區域以外（遠離原點）的部分置零（設為黑色或透明），代表「超出可糾正範圍的位移錯誤」。

意義：直觀展示「r-參數化GKP態」的定義——波函數必須集中在原點附近的小正方形內，才能被視為近似無錯誤的邏輯態。

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圖4：基於隱形傳態（Knill型）的GKP錯誤修正，附輸入與輸出位置波函數平方

詳細描述： 這是一張電路圖結合波函數分布的說明圖，展示Knill型EC如何同時完成糾錯與能量重置。

• 上方：電路示意圖
  • 包含數據模式（Data Mode）和輔助GKP態（Ancilla GKP）。
  • 顯示CNOT類似操作、零差測量（Homodyne Measurement）、前饋修正（Feed-forward Pauli correction）。
  • 註明「Pauli修正可透過框架更新吸收」。
• 下方：兩個波函數平方分布對比
  • 左側（輸入）：位置波函數平方 $|ψ(x)|^2$，可能顯示較寬、偏移或多峰的分布（代表累積了錯誤與較高能量）。
  • 右側（輸出）：經過EC後的分布，峰更尖銳、更集中在正確格點上，且整體方差更小（能量被重置）。
• 用箭頭標示「能量重置」過程：輔助態帶來低能量，新態繼承邏輯信息但捨棄舊能量。

意義：強調Knill型EC在CV系統中的優勢——不僅修正位移錯誤，還能防止能量持續累積，這是實現容錯的關鍵。

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圖5：噪聲參數 ϵ 的數值估計（多子圖）

詳細描述： 這是一張由四個子圖（a–d）組成的數值結果圖，橫軸通常為噪聲強度或相關參數，縱軸為本文定義的噪聲強度 ϵ（越低越好）。

• (a)：高斯近似GKP態 橫軸：擠壓水平（Squeezing level, dB），從10dB到40dB； 縱軸：ϵ 值。顯示隨著擠壓提升（更高dB），ϵ 下降，但在30dB左右才進入容錯可行範圍。
• (b)：高斯隨機位移通道 橫軸：位移噪聲方差的倒數對數； 顯示即使無能量約束，ϵ 仍可隨噪聲減小而有效下降。
• (c)(d)：隨機相位旋轉通道
  • (c) 固定小方差，改變能量 E
  • (d) 固定能量 E=20，改變方差 顯示相位穩定性要求極高，即使小噪聲在高能量下也會產生較大 ϵ。

意義：提供具體數值證據，說明本文的噪聲參數化框架如何量化各種實驗相關噪聲，並給出達到容錯所需的實驗指標（如擠壓水平、能量控制等）。